Question

Знайдіть площу трикутника ABC, якщо А(1; 3; - 1), B(1; - 1; 4), C ( 2; 3; -1)​

Answer 1

Ответ:

Площа ΔАВС дорівнює   $\bf \dfrac{\sqrt{41} }{2}$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Знайдіть площу трикутника ABC, якщо А(1; 3; - 1), B(1; - 1; 4), C ( 2; 3; -1)​

Розв'язання

За формулою відстані між двома точками

$\boxed{\bf d=\sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}$

обчислимо сторони трикутника:

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 +(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=\sqrt{(1-1)^2 +(-1-3)^2+(4-(-1))^2}=$

$=\sqrt{0+16+25} =\bf \sqrt{41}$

$BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2 +(y_C-y_B)^2+(z_C-z_B)^2}=\sqrt{(2-1)^2 +(3-(-1))^2+(-1-4)^2}=$

$=\sqrt{1+16+25} =\bf \sqrt{42}$

$AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2 +(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}=\sqrt{(2-1)^2 +(3-3)^2+(-1-(-1))^2}=$

$=\sqrt{1+0+0} =\bf 1$

Так як:

(√41)²+(1)²=(√42)² , (АВ²+АС²=ВС²),

то за  теоремою, зворотної теоремі Піфагора робимо висновок, що трикутник прямокутний з катетами АВ і АС та гіпотенузою ВС.

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \sqrt{41} \cdot 1=\bf \dfrac{\sqrt{41} }{2}$

Відповідь: $\bf \dfrac{\sqrt{41} }{2}$

#SPJ1