Question

2. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої, заданої рівнянням у = х^2 + 4х - 2 в точці хо = 1.

Answer 1

Ответ:y = (-1/6)x + 7/2.

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1, потрібно використовувати поняття похідної функції.

Похідна функції у = х^2 + 4х - 2 може бути знайдена за допомогою правила диференціювання суми та добутку функцій. Оскільки похідна функції визначає швидкість зміни функції у в кожній точці, похідна функції у = х^2 + 4х - 2 буде рівна нахилу дотичної лінії до цієї функції в точці х = 1.

Знайдемо спочатку похідну функції у = х^2 + 4х - 2:

y' = 2x + 4

Тоді нахил дотичної до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1 дорівнює значенню похідної у цій точці, тобто:

y' (при x = 1) = 2(1) + 4 = 6

Тому рівняння дотичної до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1 буде містити точку (1, y(1)), де y(1) - це значення функції у в точці х = 1, і мати нахил 6. Враховуючи це, ми можемо використовувати формулу для рівняння прямої в точковій формі:

y - y(1) = m(x - 1)

де y(1) = 3 (оскільки y(1) = у(1) = 1^2 + 4 * 1 - 2 = 3), m = 6 (оскільки це нахил дотичної до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1), тоді маємо:

y - 3 = 6(x - 1)

або

y = 6x - 3

Таким чином, рівняння дотичної до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1 має вигляд y = 6x - 3.

Щоб знайти рівняння нормалі,розрахуємо нахил нормалі до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1. Нормаль - це пряма, що перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику. Нахил нормалі дорівнює протилежному знаку зворотному до значення похідної в точці х = 1:

k = -1/y'(1)

де y'(1) = 6 - значення похідної у точці х = 1.

Отже, нахил нормалі до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1 дорівнює:

k = -1/y'(1) = -1/6

Рівняння нормалі можна записати у точковій формі, використовуючи точку дотику (1, 3) і нахил нормалі -1/6:

y - y(1) = k(x - 1)

де y(1) = 3, k = -1/6. Підставляючи ці значення, отримуємо:

y - 3 = (-1/6)(x - 1)

або

y = (-1/6)x + 7/2

Отже, рівняння нормалі до кривої у = х^2 + 4х - 2 в точці х = 1 має вигляд y = (-1/6)x + 7/2.