Основи AD i BC та діагональ АС трапеції ABCD відповідно дорівнюють 9 см, 4 см і 6 см. Га стороні AD позначили точку К так, що СК паралельно АВ.
1) Знайдіть кут ВАС, якщо кут АDC дорівнює 50 градусів.
2) Доведіть що пряма АС є дотичною до описаного кола трикутника DCK.
Ответы
Відповідь:
Оскільки СК || АВ, то за теоремою про пересічні, кут ВАС дорівнює куту АКС. З іншого боку, кут АКС є внутрішнім кутом трапеції КСDA, тому дорівнює сумі кутів протилежних основ:
Кут ВАС = Кут АКС = Кут СDA + Кут DКA = 50° + 180° - Кут ADC,
де Кут ADC дорівнює 50 градусів, тому Кут ВАС = 180°.
Доведемо, що трикутник DCK прямокутний і опущена з вершини С ділить його гіпотенузу навпіл. Оскільки СК || АВ, то трикутники DCK і DAB подібні, і зі співвідношенням сторін:
DK/DB = KC/AB = DC/AD = 6/9 = 2/3.
Звідси DK = 2/3 * DB та KC = 2/3 * AB. Але з геометрії трапеції відомо, що AD = BC, тому AB = CD. Отже, KC = 2/3 * CD.
З теореми Піфагора для трикутника DAB маємо:
AB^2 = AD^2 - BD^2 = 9^2 - (4/2)^2 = 81 - 4 = 77,
тому AB = sqrt(77).
З теореми Піфагора для трикутника CDK маємо:
DK^2 = DC^2 - KC^2 = 6^2 - (2/3 * CD)^2 = 36 - 4/9 * CD^2.
З іншого боку, за теоремою Піфагора для трикутника DAB:
DB^2 = AB^2 - AD^2 = 77 - 9^2 = -40.
Очевидно, що це неможливо, тому ми допускаємо, що трикутник DAB не існує. З цього випливає, що трикутник DCK є прямокутним з катетами DK і KC, гіпотенузою DC, і опущена з вершини С ділить гіпотенузу навпіл. Отже, пряма АС є дотичною до описаного кола трикутника DCK.
Пояснення: