Довжина меншої сторони прямокутника дорівнює 8 см Знайди довжину діагоналі якщо вона утворює з меншою стороною кут 60°
Ответы
Відповідь:Нам потрібно знайти довжину діагоналі прямокутника, якщо вона утворюється з меншою стороною кута 60°. Ми можемо використовувати теорему Піфагора та використовувати значення косинуса 60° для розв'язання задачі.
Довжина більшої сторони прямокутника дорівнює √3 разів довжини меншої сторони, тому:
довжина більшої сторони = √3 x 8 см = 8√3 см
Застосовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти довжину діагоналі:
діагональ² = (довжина меншої сторони)² + (довжина більшої сторони)² діагональ² = 8² + (8√3)² діагональ² = 64 + 192 діагональ² = 256
Довжина діагоналі прямокутника дорівнює квадратному кореню з 256, тобто:
діагональ = √256 = 16 см
Таким чином, довжина діагоналі прямокутника дорівнює 16 см.
Пояснення:
Відповідь:
Нехай АВСD - прямокутник, де АВ - менша сторона, АС - більша сторона, АD і ВС - діагоналі.
За теоремою косинусів для трикутника АВD маємо:
AD² = AB² + BD² - 2AB•BD•cos(60°).
AB = 8 см - менша сторона прямокутника.
BD = AC - менша сторона прямокутника (бо ВС = AC).
AC = AD = DС (бо АВСD - прямокутник).
Тоді:
AD² = 8² + (AC - 8)² - 2•8•(AC - 8)•1/2,
що скорочується до:
AD² = 64 + AC² - 16AC + 64 - 16AC + 64,
або:
AD² = AC² - 32AC + 192.
З іншого боку, за теоремою косинусів для трикутника ABC маємо:
AC² = AB² + BC² - 2AB•BC•cos(60°).
AB = 8 см - менша сторона прямокутника.
BC = AD - 8 (бо АС = AD).
Тоді:
AC² = 8² + (AD - 8)² - 2•8•(AD - 8)•1/2,
або:
AC² = AD² - 16AD + 128.
Підставляємо вираз для AD² з попереднього кроку:
AD² = AC² - 32AC + 192,
AD² = AD² - 16AD + 128 - 32AC + 192,
16AD = 320 - 32AC,
AD = 20 - 2AC.
Підставляємо це вираз для AD в одному з рівнянь, отриманих за допомогою теореми косинусів, і отримуємо квадратне рівняння відносно AC:
(20 - 2AC)² = AC² - 32AC + 192.
Розв'язуємо його:
4AC² - 80AC + 256 = 0,
AC² - 20AC + 64 = 0,
(AC - 16)(AC - 4) = 0.
Отже, AC = 16 або AC = 4.
Якщо AC = 16, то з виразу для AD маємо:
AD = 20 - 2AC = 20 - 32 = -12.
Це неможливе, оскільки довжина не може бути від'ємною. Отже, вірна є друга варіанту: AC = 4.
Підставляємо це значення в вираз для AD і отримуємо:
AD = 20 - 2AC = 20 - 8 = 12.
Таким чином, довжина діагоналі прямокутника дорівнює 12 см.