Question

Висота конуса дорівнює 6. Розгорткою бічної поверхні цього конуса е сектор з центральним кутом 120°. Визначте обем V конуса. У відповідь запишіть
$\frac{v}{\pi}$
​

Answer 1

Ответ:Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор кола з центральним кутом 120° і радіусом, рівним обдуваючому колу конуса. Оскільки об'єм конуса V = 1/3 * π * r^2 * h, де r - радіус обдуваючого кола, а h - висота конуса, нам необхідно знайти значення радіуса r, щоб розрахувати об'єм конуса.

За теоремою Піфагора, радіус обдуваючого кола дорівнює √(h^2 + r^2).

Також за умовою відомо, що довжина дуги кола, що відповідає сектору бічної поверхні, дорівнює довжині окружності з радіусом r, помноженій на відношення центрального кута 120° до повного кута 360°, тобто:

l = 2πr * 120°/360° = 2πr/3.

Звідси маємо r = 3l/2π = 3/2 * довжина дуги сектора/π.

Довжина дуги кола, що відповідає сектору бічної поверхні, дорівнює 120°/360° * 2πr = 2πr/3. Якщо відстань вздовж бічної поверхні конуса взяти за одиницю, то довжина дуги дорівнює 2πr/3, а отже r = 3/2.

Отже, об'єм конуса V = 1/3 * π * r^2 * h = 1/3 * π * (3/2)^2 * 6 = 9π.

Отже, об'єм конуса становить 9π.

Объяснение: