Дан равнобедренный треугольник АВС, с основанием АС, D є АВ, Е є ВС, Р є АС, причём отрезки АЕ и DР имеют общую середину. Найти углы треугольника АВС, зная что угол DЕР = 50°
Ответы
Для решения данной задачи нам потребуется использовать несколько свойств равнобедренного треугольника и одно свойство о параллельных прямых.
Обозначим угол BAC через α. Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол BCA также равен α.
Также обозначим угол DEA через β. Так как отрезки АЕ и DР имеют общую середину, то углы CEP и BEA равны, а значит, угол ВЕС равен β.
Также заметим, что DE || AC, так как угол DЕР = 50° и угол BAC = α. Тогда угол BED также равен α, так как они соответственные.
Теперь рассмотрим треугольник EBD. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
α + α + β + BED = 180°
2α + β + BED = 180°
Но мы уже знаем, что угол BED равен α, поэтому:
2α + β + α = 180°
3α + β = 180°
Теперь рассмотрим треугольник AEC. Сумма углов равна 180°, поэтому:
α + α + 180° - (2α + β) = 180°
2α - β = 0
2α = β
Теперь мы знаем, что β = 2α, а также что β = 50°. Подставляем в уравнение и находим α:
2α = 50°
α = 25°
Таким образом, мы нашли, что угол BAC (и угол BCA) равен 25°. Ответ: углы треугольника АВС равны 25°, 25° и 130°.