Question

Вычислите sin2a, cos2a, ctg2a и tg2a, если tga=2,4 иn

Answer 1

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2} }{1+\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\frac{x}{2} }{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

$\mathrm{ctg}\,x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}{2\,\mathrm{tg}\,\frac{x}{2} }$

В частности, тангенс также можно найти как отношение синуса того же аргумента к косинусу того же аргумента, а котангенс можно найти как величину, обратную тангенсу того же аргумента.

Найдем требуемые значения:

$\sin2 \alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{2\cdot2.4}{1+2.4^2}=\dfrac{4.8}{1+5.76}=\dfrac{4.8}{6.76}=\dfrac{480}{676}=\dfrac{120}{169}$

$\cos2 \alpha =\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{1-2.4^2}{1+2.4^2}=\dfrac{1-5.76}{1+5.76}=\dfrac{-4.76}{6.76}=-\dfrac{476}{676}=-\dfrac{119}{169}$

$\mathrm{tg}\,2 \alpha =\dfrac{\sin2\alpha }{\cos2\alpha }=\dfrac{120}{169 }:\left(-\dfrac{119}{169} \right)=-\dfrac{120}{119 }$

$\mathrm{ctg}\,2 \alpha =\dfrac{1 }{\mathrm{tg}\,2 \alpha }=1:\left(-\dfrac{120}{119 } \right)=-\dfrac{119}{120 }$