Ответы
Спочатку знайдемо кут B, використовуючи факт, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°:
B = 180° - A - C = 180° - 30° - 90° = 60°
Тепер можемо знайти відношення довжин сторін трикутника АВС, використовуючи тригонометрію:
sin A = BC / AC, тому BC = AC * sin A = AC * 0.5
cos A = AB / AC, тому AB = AC * cos A = AC * √3 / 2
tan B = BC / AB, тому BC / AB = √3, а тому BC = AB * √3 = AC * √3 / 2 * √3 = AC / 2
Також ми знаємо, що бісектриса кута в перетинає катет АC у точці D, тому AD = CD. З умови BO + CD = 15 см, ми можемо виразити CD через відрізки AD і BD:
CD = BO + CD - BO = 15 - BO
Але ми також можемо виразити CD через відрізки AD і AC, використовуючи те, що D є точкою перетину бісектриси кута і катету:
CD = AC - AD
Об'єднавши два вирази для CD, маємо:
AC - AD = 15 - BO
Замінивши AC на вираз, який ми знайшли вище, і замінивши BC на AB * √3, отримаємо:
AC - AD = 15 - BO
AC - CD = 15 - BO
AC - AC/2 = 15 - BO
AC/2 = BO - 15
AC = 2(BO - 15)
Тепер ми можемо знайти AD, використовуючи вираз для CD, який ми знаємо:
AD = AC - CD = AC - AD = 2(BO - 15) - AD
Але ми також можемо виразити BO через відрізки AB і BD:
BO = AB - BD
Але ми також можемо виразити AB через AC:
AB = AC * √3 / 2
Тому ми можемо записати:
BO = AC * √3 / 2 - BD
Але ми також можемо виразити BD через відрізки AD і CD:
BD = CD = AD
Тому ми можемо записати:
BO = AC * √3 / 2 - AD
Ми знайшли вираз для AD:
AD = AC * cos(A/2) = 2 * BC * cos(A/2)
Тоді, підставляючи значення BC, отримаємо:
AD = 2 * AB * cos(A/2) = 2 * 6 * cos(30/2) = 6 * cos(15)
Отже, відрізок AD має довжину 6 * cos(15) см.