Пряма дотикається до кола з центорм О в точці А. На дотичній по різні боки від точки А позначили точки В і С так, що BO = CO Знайдіть відрізок ВС, якщо BA = 6CM
Ответы
Позначимо точку дотику дотичної до кола з центром О в точці А як D. Оскільки точка D лежить на дотичній до кола, то вектор AD є перпендикулярним до вектора OB (або OC), оскільки OB = OC, то вектор AD є середньою лінією трикутника BOC. Тобто:
AD = 1/2 (BO + CO) = BO = CO
Оскільки BA = 6CM, то з подібності трикутників ABD та AOC маємо:
AD/AC = AB/AO
Отже, AD = AB/AO * AC
Але ми знаємо, що AD = BO = CO, тому:
BO = CO = AB/AO * AC
Але BO = CO, тому:
AB/AO * AC = BO = CO
AC = AO * CO/AB = AO * BO/AB (так як BO = CO)
З теореми Піфагора для трикутника ABO маємо:
AB^2 + BO^2 = AO^2
Так як BO = CO, то можемо записати:
2BO^2 = AO^2 - AB^2
BO^2 = (AO^2 - AB^2)/2
AB^2 = AD^2 + BD^2 (теорема Піфагора для трикутника ABD)
Отже, маємо:
AC = AO * BO/sqrt(AD^2 + BD^2)
Тепер застосуємо теорему Піфагора для трикутника ABD:
AD^2 + BD^2 = AB^2 = 36CM^2
Отже:
AC = AO * BO/sqrt(36CM^2 - AD^2)
Залишилося знайти AD. Знову використаємо теорему Піфагора для трикутника ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AD^2 = AB^2 - BD^2 = 36CM^2 - (BO + CO)^2/4 = 36CM^2 - BO^2
За теоремою Піфагора для трикутника ABO:
BO^2 = AO^2 - AB^2 = AO^2 - 36CM^2
Отже:
AD^2 = 36CM^2 - (AO^2 - 36CM^2) = 72CM^2 - AO^2
Отже:
AC = AO * BO/sqrt(36CM^2 - (72CM^2 - AO^2))
AC = AO * BO/sqrt(AO^2 - 36CM^2)
Таким чином, відрізок ВС має довжину:
BC = 2AC = 2AO * BO/sqrt(AO^2 - 36CM^2)