Question

3.У правильнiй трикутній пірамідi бiчнi грані утворюють з площиною основи кути по 60º. Знайдіть об'єм пiрамiди, якщо її висота дорівнює 6 см.

4. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 12 см², 18 см² і 24 см². Знайдiть об'єм паралелепіпеда.​

Answer 1

Відповідь:

3.

$9 \sqrt{3} {cm}^{3}$

4.

$72 {cm}^{3}$

Розв'язок:

3. У правильній трикутній піраміді всі бічні грані є рівносторонніми трикутниками, тому кожен з кутів між бічною гранню і площиною основи дорівнює 60 градусів. Оскільки трикутник є рівностороннім, то його висота відносно одного з основи є такою ж, як бічна сторона. Таким чином, бічна сторона трикутника, який є бічною гранню піраміди, дорівнює половині довжини основи, тобто 6 / 2 = 3 см. За теоремою Піфагора можна знайти довжину висоти, що йде з вершини до середини основи, яка дорівнює √(6² - 3²) = √27 = 3√3 см. Об'єм піраміди можна знайти за формулою V = (1/3) * S * h, де S - площа основи, а h - висота. Оскільки основою є рівносторонній трикутник, то S = (a² * √3) / 4, де а - довжина сторони трикутника. Підставляючи дані, маємо V = (1/3) * [(3² * √3) / 4] * (3√3) = 9√3 см³.

Площі трьох граней паралелепіпеда можна позначити як S1, S2 та S3. Оскільки прямокутний паралелепіпед має шість граней, то кожна з граней є прямокутником, або квадратом, якщо всі сторони паралелепіпеда рівні між собою. Таким чином, площа кожної грані може бути обчислена як добуток довжини і ширини грані. Оскільки дві грані паралелепіпеда мають одну зі сторін спільною, то можна записати систему рівнянь:

S1 = a * b

S2 = b * c

S3 = a * c

Оскільки треба знайти об'єм паралелепіпеда, то можна скористатися формулою V = a * b * c. Але для цього треба знайти довжину всіх трьох сторін паралелепіпеда. З системи рівнянь можна виразити довжину кожної сторони, наприклад:

a = S2 / b

c = S1 / b

Підставивши ці вирази в третє рівняння системи, отримаємо:

S3 = (S1 * S2) / (b²)

Після спрощення виразу отримаємо квадратне рівняння:

b² = (S1 * S2) / S3

Знаючи значення площ граней, можна знайти довжину будь-якої сторони паралелепіпеда, а потім обчислити його об'єм за формулою V = a * b * c. Округлення відповіді до ближчого цілого може бути необхідним залежно від точності вхідних даних.

Наприклад, якщо S1 = 12 см², S2 = 18 см² і S3 = 24 см², то можна обчислити:

b² = (12 * 18) / 24 = 9

b = 3 см

a = S2 / b = 6 см

c = S1 / b = 4 см

V = a * b * c = 6 * 3 * 4 = 72 см³.