Question

Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, ели радиус равен 10, и ее средняя линия равна высоте

Answer 1

Для начало выведем некие следствия, пусть  наши основания большее и меньшее соответственно равны $b,c$. Пусть высота $h$ тогда по условию 
$frac{b+c}{2}=h$ . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как $a$ , диагонали у трапеции равны $d_{1}=d_{2}=d$. Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то  диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна 
$S=frac{d*d*sin90}{2}=frac{d^2}{2}$ , с другой стороны 
$S=frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2$ из чего следует  $d^2=2h^2\ d=sqrt{2}h$   
 Рассмотрим треугольник $BCD$ радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций $ABCD$ . 
Площадь треугольника $S_{BCD}=frac{c*h}{2}$ , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений $3:4$ (как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как $3x;4x$. Тогда высота трапеций и треугольника будет равна $h=7x$ . Значит площадь треугольника 
 $S_{BCD}=frac{7x*c}{2}$. Как известно по формуле $R=frac{abc}{4R}$ вычислим наш радиус  $R=frac{7xsqrt{2}*a*c}{4*frac{7x*c}{2}}=10\ a=frac{20}{sqrt{2}}$ . Теперь можно поступить так 
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения 
2) Выразим радиус по формуле $R=frac{adc}{4sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}$ 

1)$(frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2$ 
2) если все подставить перейдем на такое уравнение     
$R=frac{140cx}{sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}$ оно равна 10 

1)$c^2=400-36x^2$ подставляя во второе уравнение 
$frac{140xsqrt{400-36x^2}}{sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10$
откуда решая это уравнение получаем 
$x=2$  тогда основание нижнее равна     
$c=sqrt{400-36*4}=16\ frac{b+16}{2}=14\ b+16=28\ b=12$
Ответ основания равны  16 и 12