твірна зрізаного конуса дорівнює 6 см і нахилена до площини основи під кутом 60 градусів. Діагональ осьового перерізу ділить цей кут навпіл. Знайдіть площу осьового перерізу конуса
Ответы
Нехай розміри основи зрізаного конуса - коло з радіусом R і висотою h. Тоді площа цієї основи дорівнює πR².
Відомо, що діагональ осьового перерізу ділить кут між бічною гранню та площиною основи навпіл, тому кут між діагоналлю та площиною основи дорівнює 30°.
Розглянемо правильний трикутник, один із кутів якого дорівнює 30°. Тоді другий гострий кут дорівнює 60°, а відношення катетів до гіпотенузи дорівнює √3 / 2.
Позначимо розмір діагоналі осьового перерізу конуса через d. Тоді за теоремою Піфагора в правильному трикутнику з кутом 30° маємо:
(d/2)² + (R - h)² = R²
d² / 4 + R² - 2Rh + h² = R²
d² / 4 + h² - 2Rh = 0
Але також за властивостями зрізаного конуса маємо:
h = R / √3
Підставляючи це значення h у рівняння, маємо:
d² / 4 + R² - 2R² / √3 = 0
d² / 4 = R² / (2√3 - 2) = R²(√3 + 1) / 3
d² = 4R²(√3 + 1) / 3
Площа осьового перерізу дорівнює площі кола з радіусом d/2, тобто:
S = π(d/2)² = π/4 * d² = πR²(√3 + 1) / 3.
Підставляючи відоме значення R = 6 см, отримаємо:
S = π * 6² * (√3 + 1) / 3 ≈ 113.1 см².
Отже, площа осьового перерізу конуса приблизно дорівнює 113.1 квадратним сантиметрам.