Question

ABCDA1B1C1D1 - куб, точки E,F і K - середини відповідно ребер AA1, AB і CC1. Знайдіть кут між площинами DEF і A1D1K.

Answer 1

Відповідь:

Спочатку ми можемо знайти координати точок E, F і K. Нехай довга сторона куба дорівнює a. Тоді координати точок E, F і K будуть наступними:

E: (0, a/2, a/2) F: (a/2, 0, a/2) K: (a/2, a/2, 0)

Знайдемо вектори EF і A1D1K, а потім знайдемо косинус кута між ними за допомогою їх скалярного добутку.

Вектор EF має координати (a/2, -a/2, 0), вектор A1D1K має координати (a/2, 0, -a/2). Скалярний добуток цих векторів буде:

EF · A1D1K = (a/2)(a/2) + (-a/2)(0) + (0)(-a/2) = a^2/4

Модулі цих векторів рівнів √(2a^2/4) = √(a^2/2) = a/√2. Тоді косинус кута між площинами DEF і A1D1K дорівнює:

cos θ = (EF · A1D1K) / (|EF| ⋅ |A1D1K|) = (a^2/4) / [(a/√2) ⋅ (a/√2)] = 1/2

Отже, кут між площинами DEF і A1D1K дорівнює 60 градусів.