Question

Знайти точку яка симетрична точці В (-2;1) відносно прямої у =-2х+2

Answer 1

Ответ:

Точка А(2; 3) симметрична точке В(-2; 1) относительно прямой

у = - 2х + 2.

Объяснение:

Найти точку, которая симметрична точке В(-2; 1) относительно прямой у = - 2х + 2.

• Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и точка пересечения отрезка АВ и оси симметрии является серединой АВ.

1. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной у = - 2х + 2 и проходящей через точку В(-2; 1).

• Прямые у = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ перпендикулярны: если k₂ = -1/k₁

⇒ k₂ = 1/2

Искомая прямая будет иметь вид:

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b$

Найдем b.

• Точка принадлежит графику, если, подставив ее координаты в формулу функции, получим верное равенство.

Подставим координаты точки В(-2;1):

$\displaystyle 1=\frac{1}{2}\cdot (-2) + b\;\;\;\Rightarrow \;\;\;b=2$

Получили уравнение прямой:

$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$

2. Найдем точку пересечения данного и полученного графиков.

Решим систему:

$\displaystyle \left \{ {{y=-2x+2} \atop {\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2 }} \right. \\\\-2x+2=\frac{1}{2}x+2\\ \\-\frac{5}{2}x =0\\ \\x=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y=2$

Точка пересечения графиков имеет координаты С(0; 2)

3. Теперь нужно найти координаты точки А, симметричной точке В относительно прямой у = - 2х + 2.

Точка А принадлежит прямой у = 1/2 х + 2, при этом точка С(0, 2) является серединой отрезка АВ.

• Формулы координат середины отрезка:

                    $\displaystyle \bf x=\frac{x_1+x_2}{2};\;\;\;\;\;y=\frac{y_1+y_2}{2}$

В нашем случае:

х = 0; у = 2; х₁ = -2; у₁ = 1   ⇒   точка А имеет координаты (х₂; у₂)

$\displaystyle \bf 0=\frac{-2+x_2}{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x_2=2\\\\2=\frac{1+y_2}{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;y_2=3$

Получили точку А(2; 3)

#SPJ1