Question

Положительный ряд, исследовать на сходимости ○○ Еn=1 an ​

Answer 1

Объяснение:

в)

$\displaystyle\\a_n=\frac{ln(n^2+n)}{n} .\\\\\sum\limits_1^\infty\frac{ln(n^2+n)}{n} .$

Применим сравнительный метод. В качестве сравнения можно

выбрать ряд:   $\displaystyle\\b_n=\frac{ln(n)}{n}$.  Так как aₙ≥bₙ  ⇒  если ряд bₙ - расходится,

то будет расходиться и ряд аₙ.              ⇒

Исследуем сходимость ряда bₙ при помощи интегрального признаки сходимости Коши:

$\displaystyle\\\int\frac{ln(x)}{x}dx=\left | {{t=ln(x)} \atop {dt=\frac{dx}{x} }}\left | \atop \right = \int tdt=\frac{t^2}{2}=\frac{1}{2} t^2.\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \\\\\frac{1}{2} ln^2(x)\ |_1^\infty=\infty-0=\infty.$

Ряд расходится    ⇒    расходится и исследуемый ряд.

Ответ: ряд расходится.

г)

$\displaystyle\\a_n=\frac{n!(2n+1)!}{(3n)!}$

Используем признак Даламбера:

$\displaystyle\\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =q$        (q<1 - ряд сходится, q>1 - ряд расходится).

$\displaystyle\\\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!(2(n+1)+1)!}{(3(n+1))!}:\frac{n!(2n+1)!}{(3n)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)!(2(n+1)+1)!(3n)!}{(3(n+1))!n!(2n+1)!}=\\\\ =\lim_{n \to \infty}\frac{n!*(n+1)*(2n+3)!(3n)!}{(3n+3)!*n!*(2n+1)!} =\\\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)*(2n+1)!*(2n+2)*(2n+3)*(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)*(2n+1)! } =\\\\\\=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)*(2n+2)*(2n+3)}{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}=$

$\displaystyle\\=\lim_{n \to \infty}\frac{n*(1+\frac{1}{n})*n*(2+\frac{2}{n})*n*(2+\frac{3}{n}) }{n*(3+\frac{1}{n})*n*(3+\frac{2}{n})*n*(3+\frac{3}{n}) } =\\\\\\=lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})(2+\frac{3}{n}) }{(3+\frac{1}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{3}{n}) } =\\\\\\=\frac{(1+0)*(2+0)*(2+0)}{(3+0)*(3+0)*(3+0)}=\frac{1*2*2}{3*3*3} =\frac{4}{27} < 1 .\ \ \ \ q < 1\ \ \ \ \Rightarrow$

Ответ: ряд сходится.