Question

Площина а перетинає середини катетів AB і АС рівнобедреного прямокутного трикутника ABC у точках М і N. Доведіть, що BC||а і знайдіть відношення Рbmnc : Pman, якщо MN = 2 см.

Answer 1

Оскільки трикутник АВС - рівнобедрений прямокутний, то МН є висотою, проведеною до гіпотенузи СВ. Позначимо довжини катетів АВ і АС через а, а довжину гіпотенузи СВ через с.

Так як М та N - середини катетів, то АМ = MB = AN = NC = а/2.

За теоремою Піфагора в правильному трикутнику СВС:

с² = 2а²,

отже, а = с/√2.

Далі, позначимо відстані від точок М та N до площини АВС через h1 та h2 відповідно.

За теоремою Піфагора в трикутниках АМN та ВМN:

h1² = (a/2)² + (с/2 - h)²,
h2² = (a/2)² + (с/2 + h)²,

де h - висота трикутника АВС на гіпотенузу СВ.

Різниця цих виразів дорівнює довжині відрізка МN:

h2² - h1² = 4h(c/2 + h) - 4h(c/2 - h) = 8h².

Оскільки MN = 2 см, то з цього випливає, що h = 1 см.

Тепер ми можемо знайти площу чотирикутника АІМN, в якому AM = AN = BM = NC = a/2 і ІМ = IN = 2 см. Цей чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників АІМ та ВNС і двох рівнобедрених трапецій АВNM та МNCI.

Площа чотирикутника АІМN дорівнює:

Pman = 2Pтр + Pтр1 + Pтр2 = 2(AMIM/2 + BMIN/2) + (AB + MN)(IM + IN)/2 = 2(a/22 + a/22) + (a + 2)(2 + 2)/2 = 3a²/2 + 6,

де Pтр - площа прямокутного трикутника, Pтр1 та Pтр2 - площі рівнобедрених трапецій.

З іншого боку, площа всього трикутника АВС дорівнює:

Pabc = AB*AC/2 = a²/2