Оценивание заданий работы N задания Количество баллов итого 2 ВАРИАНТ 1. Дана функция у = 3x² - 6x - 9. А) Найдите координаты вершины параболы. Б) Найдите точки пересечения с осями координат. В) Найдите ось симметрии параболы. Г) Постройте график функции. 2. Дана функция у = -4x² - 3x + 1. у 1 5 2 4 13 баллов 3 4 A) Найдите значения функции у(-3), у(2). Б) Найдите значение к, если известно, что график функции проходит через точку (к;-6). 3. Мяч подброшен вертикально вверх. Зависимость высоты мяча h (м) от времени полета (с) выражается формулой h(t) = -2t² + 8t + 3. - A) На какую максимальную высоту может быть подброшен мяч? Б) Через сколько секунд камень окажется на высоте 9 м?
Ответы
Ответ:
Объяснение:
1.Для начала, давайте решим первую задачу:
А) Найдите координаты вершины параболы.
Функция у = 3x² - 6x - 9 является квадратичной функцией, то есть параболой. Коэффициент при x² равен 3, что значит, что парабола направлена вверх. Координаты вершины параболы можно найти по формуле x = -b/2a, y = f(x), где a, b и c - это коэффициенты уравнения параболы.
В данном случае a = 3, b = -6 и c = -9. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
x = -(-6)/(23) = 1
y = 31² - 6*1 - 9 = -12
Таким образом, координаты вершины параболы равны (1, -12).
Б) Найдите точки пересечения с осями координат.
Оси координат представляют собой прямые y = 0 и x = 0. Чтобы найти точки пересечения параболы с этими осями, необходимо подставить y = 0 и x = 0 в уравнение параболы и решить полученные уравнения.
Когда y = 0, мы получаем уравнение 3x² - 6x - 9 = 0. Решив это уравнение с помощью квадратного корня, получаем:
x1 = (-(-6) + √((-6)² - 43(-9))) / (23) = -1
x2 = (-(-6) - √((-6)² - 43*(-9))) / (2*3) = 3
Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (-1, 0) и (3, 0).
Когда x = 0, мы получаем уравнение 3x² - 6x - 9 = -9. Это означает, что парабола не пересекает ось y.
В) Найдите ось симметрии параболы.
Ось симметрии параболы проходит через ее вершину и является перпендикулярной ее оси x. Таким образом, ось симметрии имеет уравнение x = 1.
2. Для нахождения значений функции у(-3) и у(2), нужно подставить -3 и 2 вместо x соответственно:
у(-3) = -4(-3)² - 3(-3) + 1 = -36 + 9 + 1 = -26
у(2) = -4(2)² - 3(2) + 1 = -16 - 6 + 1 = -21
Таким образом, у(-3) = -26, а у(2) = -21.
Б) Для нахождения значения k, если график функции проходит через точку (к;-6), нужно подставить k вместо x, а -6 вместо y, и решить уравнение:
-6 = -4k² - 3k + 1
Перенеся все члены в левую часть, получим:
4k² + 3k - 7 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:
D = b² - 4ac = 3² - 4(4)(-7) = 97
Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:
k1 = (-3 + √97)/8 ≈ 0.637
k2 = (-3 - √97)/8 ≈ -1.387
Так как график функции проходит через точку (к;-6), то значение k должно быть одним из этих корней. Следовательно, k ≈ 0.637 или k ≈ -1.387.
3. А) Максимальная высота достигается в вершине параболы, которая находится на оси симметрии параболы. Ось симметрии проходит через точку, в которой производная функции равна нулю (это справедливо для любой параболы). Производная функции h(t) равна -4t + 8. Чтобы найти точку, где производная равна нулю, нужно решить уравнение:
-4t + 8 = 0
Откуда получаем t = 2. Точка, в которой производная равна нулю, соответствует вершине параболы. Чтобы найти максимальную высоту, нужно подставить t = 2 в уравнение h(t):
h(2) = -2(2)² + 8(2) + 3 = 11
Таким образом, максимальная высота, на которую может быть подброшен мяч, равна 11 метров.
Б) Чтобы найти время, через которое мяч окажется на высоте 9 м, нужно решить
уравнение h(t) = 9:
-2t² + 8t + 3 = 9
или
-2t² + 8t - 6 = 0
Делим обе части на -2:
t² - 4t + 3 = 0
Решаем квадратное уравнение:
t1 = 1, t2 = 3
Таким образом, мяч окажется на высоте 9 м два раза: через 1 секунду после того, как его подбросили, и через 3 секунды после того, как его подбросили. Ответ: через 1 и 3 секунды.