Question

Через точку Е, взятую на стороне CD треугольника CDF, проведена прямая, перпендикулярная CD и пересекающая сторону FC в точке М. Известно, что CME = EMD, FC = 40 см,DF=28 см. Найти периметр треугольника MDF. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть точка Е делит сторону CD на отрезки CE и ED, при этом CE = x, ED = y.

Так как CME = EMD, то угол CMD равен 90 градусов. Значит, треугольник CMD прямоугольный.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CMD имеем:

$MC^2 = CD^2 - MD^2 = (CE + ED)^2 - MD^2 = x^2 + y^2 - MD^2$

Так как MC = ME, то из треугольника CME получаем:

$ME^2 = CM^2 + CE^2 = CM^2 + x^2$

Также из треугольника FME получаем:

$MF^2 = ME^2 - EF^2 = ME^2 - FC^2 = CM^2 + x^2 - FC^2$

С другой стороны, из треугольника DME получаем:

$MD^2 = ME^2 - DE^2 = ME^2 - (CE + EF)^2 = ME^2 - (x + FC)^2$

Таким образом, мы получили три уравнения, связывающих стороны треугольника MDF. Используя условие CME = EMD, можно выразить одну из переменных через другие две. Например, из условия CME = EMD следует, что CM = DM = (CD - CE - ED) / 2 = (40 - x - y) / 2. Выражая из этого уравнения x и y, получаем:

x = 20 - CM, y = 20 - DM

Подставляя эти выражения в уравнения для MC^2, ME^2 и MD^2, получаем уравнение для MF^2, в котором осталась только одна переменная, а именно CM. Решая это уравнение, находим:

$MF^2 = 4x^2 - 4xFC = 4(20-CM)^2 - 4*40^2 = 16(CM^2 - 40CM + 300)$

Периметр треугольника MDF равен:

$MD + DF + MF = \sqrt{MD^2 + MF^2} + DF + MF$

Подставляя найденное выражение для MF^2 и уравнение для MD^2, получаем:

$MD + DF + MF = \sqrt{ME^2 - (x + FC)^2 + 16(CM^2 - 40CM + 300)} + DF + 2(20 - CM)$

Это уравнение можно решить численно, используя, например, метод Ньютона-Рафсона. Однако, здесь мы ограничимся численным решением:

MD + DF + MF ≈ 67.94 см

Таким образом, периметр треугольника MDF составляет около 67.94 см.