Дуже дуже швидко потребую у допомозі;(((((((
Сторони трикутника MKN дотикаються до кулі. Знайти радіус кулі, якщо МК=9, MN=13, KN=14 i відстань від центра кулі до площини NMK дорівнює √6.
Ответы
Ответ:
Розглянемо трикутник MKN. Оскільки сторони дотикаються до кулі, то за властивістю дотичної до кулі, кути, які утворені сторонами трикутника та дотичною, є прямими кутами.
Оскільки сторони дотикаються до кулі, то точка перетину медіан трикутника є центром вписаної кулі. Позначимо цей центр точкою O.
Також позначимо точки дотику сторін до кулі як A, B, C. Тоді MA = NA = x, MB = KB = y, NC = KC = z.
Оскільки MO є медіаною трикутника MKN, то MO = 1/2 * √(2MK^2 + 2KN^2 - MN^2) = 1/2 * √(29^2 + 214^2 - 13^2) = √70.
Також з питагорової теореми отримуємо:
x^2 + y^2 = 9^2
y^2 + z^2 = 14^2
z^2 + x^2 = 13^2
Додамо всі три рівняння разом:
2(x^2 + y^2 + z^2) = 9^2 + 14^2 + 13^2
Отримаємо: x^2 + y^2 + z^2 = 269/2.
З іншого боку, позначимо радіус кулі як R. Оскільки відстань від центра кулі до площини NMK дорівнює √6, то за теоремою Піфагора отримуємо:
R^2 = (MO)^2 - (√6)^2 = 70 - 6 = 64
Таким чином, радіус кулі дорівнює 8. Відповідь: 8.