Question

Точка I — центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), отрезок CE — биссектриса треугольника ABC и верно равенство CI : IE = √3 ∶ √2. Найдите размеры острых углов треугольника ABC. (С чертежом)

Answer 1

Ответ:

$15^{\circ};\ 75^{\circ}.$

Пошаговое объяснение:

Будем считать для определенности, что катет a=BC ≤ b=AC, то есть угол $\alpha\le 45^{\circ}}.$

Как известно, биссектрисы в точке пересечения (иными словами, в центре вписанной окружности) делятся в отношении "сумма прилежащих сторон к противолежащей стороне". В нашем случае

                                        $\dfrac{CI}{IE}=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$  

Отсюда

           $\dfrac{(a+b)^2}{c^2}=\dfrac{3}{2};\ \dfrac{a^2+b^2+2ab}{c^2}=\dfrac{3}{2};\ \dfrac{c^2+2ab}{c^2}=\dfrac{3}{2};\ 1+\dfrac{2ab}{c^2}=\dfrac{3}{2};$

                         $2\cdot\dfrac{a}{c}\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{2};\ 2\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha=\dfrac{1}{2};\ \sin 2\alpha=\dfrac{1}{2};$

  $2\alpha=30^{\circ}$ (случай $2\alpha=150^{\circ}$ отпадает по предположению);

   $\alpha=15^{\circ};\ \beta=90^{\circ}-\alpha=75^{\circ}.$

Замечание. Формула    $\dfrac{CI}{IE}=\dfrac{a+b}{c}$ может быть выведена с помощью теоремы Ван-Обеля или теоремы Менелая.