Ответы
Ответ:
Позначимо перший член геометричної прогресії як b1, а знаменник - як q. Тоді, за визначенням геометричної прогресії, другий, третій і четвертий члени будуть відповідно b2 = b1q, b3 = b1q^2 та b4 = b1*q^3.
З умови задачі маємо систему рівнянь:
b1 + b4 = 18, (1)
b2 + b3 = 12. (2)
Підставляємо вирази для b4 та b3:
b1 + b1q^3 = 18,
b1q + b1*q^2 = 12.
Можна переписати останнє рівняння у вигляді:
b1*q(1 + q) = 12.
Залишається виразити q з першого рівняння:
b4 = b1*q^3 = (18 - b1).
Підставляємо це значення у вираз для b1*q(1 + q):
b1q(1 + q) = 12,
b1q(1 + q) = 12 / (18 - b1) * (1 + q)^4 * (1 - q),
q^2 + q(1 - 2b1/(18-b1)) - 3/4 = 0.
Знаходимо корені цього квадратного рівняння:
q1 = -3/4, q2 = 1/2.
Так як q - знаменник прогресії, q1 відкидаємо, бо q не може бути від'ємним.
Отже, знаменник геометричної прогресії дорівнює q2 = 1/2, а перший її член b1 можна знайти з першого рівняння:
b1 + b1*(1/2)^3 = 18,
b1 = 12.
Таким чином, перші п'ять членів прогресії дорівнюють:
b1 = 12,
b2 = 6,
b3 = 3,
b4 = 9,
b5 = 4.5.
Сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 12 + 6 + 3 + 9 + 4.5 = 34.5.
Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 34.5.