Докажите неравенства:
A) 4x(x+5) > (2x+1)(2x- 1) + 20x;
Б) у (у+6) < (y+3)^2 ;
B) (x +5)(x - 8) > x(x + 7) - 32;
Ответы
Відповідь:
A) Раскроем скобки в левой и правой частях неравенства и приведем подобные слагаемые:
4x^2 + 20x > 4x^2 - 1x + 2x^2 - 1 + 20x
Упрощаем:
4x^2 + 20x > 2x^2 + 19x - 1
Вычитаем из обеих частей неравенства 2x^2 + 19x - 20x - 1 и получаем:
2x^2 + 1 > 0
Данное неравенство всегда выполняется при любом значении x, так как левая часть всегда больше нуля при любом x, а правая часть меньше нуля при x < -1/2 и больше нуля при x > -1/2. Значит, исходное неравенство также всегда выполняется.
Б) Раскроем скобки в правой части неравенства:
y + 6 < y^2 + 6y + 9
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и упростим:
y^2 + 5y - 3 < 0
Для решения данного неравенства воспользуемся формулой дискриминанта и найдем корни уравнения:
D = 5^2 - 4*(-3) = 37
y1 = (-5 - sqrt(37))/2 ≈ -4.3
y2 = (-5 + sqrt(37))/2 ≈ 0.3
Заметим, что коэффициент при y^2 положительный, значит, при решении неравенства нужно искать значения y между корнями уравнения. Получаем:
-4.3 < y < 0.3
Значит, исходное неравенство выполняется для всех значений y, лежащих в данном интервале.
B) Раскроем скобки в обеих частях неравенства и приведем подобные слагаемые:
x^2 - 3x - 40 > 0
Решим данное квадратное неравенство, используя формулу дискриминанта:
D = (-3)^2 - 41(-40) = 169
x1 = (3 - sqrt(169))/2 = -8
x2 = (3 + sqrt(169))/2 = 11
Значит, неравенство выполняется для значений x < -8 и для значений x > 11. В интервале (-8, 11) неравенство не выполняется.
Пояснення: