Question

Пожалуйста срочно помогите
сделаю лучший ответ
${ \sin }^{2} \alpha + \sin( \frac{\pi}{3} + \alpha ) \sin( \frac{\pi}{3} - \alpha ) = \frac{3}{4}$
​

Answer 1

Ответ:

$\alpha = \frac{\pi}{2}$  

та

     $-\frac{\pi}{2}$

Объяснение:

$\sin^2 \alpha + \sin(\frac{\pi}{3}+\alpha) \sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)$

$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{2}[\cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3})+\sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3})][\cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3})-\sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3})]$

$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha)][\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha)-\frac{1}{2}\sin(\alpha)]$$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}[\frac{3}{4}\cos^2(\alpha)-\frac{1}{4}\sin^2(\alpha)]$

$= \frac{3}{4}\sin^2 \alpha + \frac{3}{16}\cos^2(\alpha)$

Тепер ми можемо записати рівняння у наступному вигляді:

$\frac{3}{4}\sin^2 \alpha + \frac{3}{16}\cos^2(\alpha) = \frac{3}{4}$

Множачею обох частин на $\frac{16}{3}$  ми отримуємо:

$4\sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha) = 4$

Використовуючи тригонометричну тотожність $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, ми можемо записати:

$4\sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \alpha = 4 3\sin^2 \alpha = 3 \sin^2 \alpha = 1$

Оскільки $\sin^2 \alpha$ не може бути більше 1, ми можемо зробити висновок, що $\sin^2 \alpha = 1$ означає, що $\sin \alpha = \pm 1$. Таким чином, рівняння має два розв'язки: $\alpha = \frac{\pi}{2}$ та $\alpha = -\frac{\pi}{2}$.