Допоможіть будь ласка даю 100 балів! Терміново!
Ответы
Зайди на сайт https://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php
и все что я написал в виде матиматического языка вставь туда и в виде изображения все тебе выведиться
1) Задание
Чтобы решить этот предел, нужно воспользоваться формулой Бинома Ньютона и правилом Лопиталя.
Сначала преобразуем выражение в формулу Бинома Ньютона:
(1 + a)^{\frac{1}{2}} = (1 + a)^{\frac{2}{4}} = ((1 + a)^{2})^{\frac{1}{4}}
Затем можем записать предел в следующем виде:
lim_{a->0} (1+a)^{\frac{1}{2}} = lim_{a->0} ((1 + a)^{2})^{\frac{1}{4}}
Применяя правило Лопиталя, можем найти производную числителя и знаменателя по переменной a:
lim_{a->0} ((1 + a)^{2})^{\frac{1}{4}} = lim_{a->0} [\frac{1}{4} * \frac{(1 + a)^2 * 2a }{((1 + a)^2)^{\frac{3}{4}}}
Упрощаем:
lim_{a->0}\frac{\frac{1}{4} * 2a}{(1 + a)^\frac{3}{2}} = lim_{a->0} \frac{a}{2 * (1 + a)^\frac{3}{2}}
Подставляя a = 0, получаем:
\frac{a}{2 * (1 + a)^\frac{3}{2}} = 0
Таким образом, исходный предел равен 0.
ddd
2)
Для решения данного предела необходимо применить правило Лопиталя. Для этого найдём производные числителя и знаменателя:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}-4n^{2}+5}{2n^{3}+n-8}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-8n}{6n^{2}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{6n-8}{12n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Таким образом, исходный предел равен 1/2.
3)
Для решения этого предела необходимо привести выражение под знаком дроби к удобному виду с помощью алгебраических преобразований:
\begin{align*}
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x+3}}{x^{2}-5x+6} &= \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x+3}}{(x-3)(x-2)} \
&= \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{x+6}-\sqrt{2x+3})(\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+3})}{(x-3)(x-2)(\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+3})} \
&= \lim_{x\to 3}\frac{(x+6)-(2x+3)}{(x-3)(x-2)(\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+3})(\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+3})} \
&= \lim_{x\to 3}\frac{1}{(x-2)(\sqrt{x+6}+\sqrt{2x+3})} \
&= \frac{1}{(3-2)(\sqrt{3+6}+\sqrt{2\cdot 3+3})} \
&= \frac{1}{2\sqrt{9}+3\sqrt{2}} \
&= \frac{1}{6+3\sqrt{2}} \
&= \frac{1-6\sqrt{2}}{-45}
\end{align*}
Таким образом, ответ: \frac{1-6\sqrt{2}}{-45}.
4)
Используя теорему о пределе синуса при стремлении аргумента к нулю, получим
\lim_{a\to0}\frac{\sin(a)}{a} = 1
Ответ: 1.
5)
Применим формулу Стирлинга для аппроксимации факториала:
n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
Подставим это выражение в исходный предел:
\lim_{n\to\infty} \frac{e^{n}\cdot nl}{n^{n}\sqrt{2\pi n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{n}\cdot nl}{\sqrt{2\pi n} \cdot n^{n}\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{n}\cdot nl\cdot e^{n}}{\sqrt{2\pi n}\cdot n^{n+1}}
Упрощаем:
\lim_{n\to\infty} \frac{e^{2n}l}{\sqrt{2\pi n}\cdot n^{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(e^{2})^{n}l}{\sqrt{2\pi}\cdot n^{n+\frac{1}{2}}}
Теперь можем применить формулу Коши-Даламбера:
\lim_{n\to\infty} \frac{(e^{2})^{n+1}l}{\sqrt{2\pi}\cdot (n+1)^{n+\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\sqrt{2\pi}\cdot n^{n+\frac{3}{2}}}{(e^{2})^{n}l} = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{2}n^{2}}{(n+1)^{n+\frac{3}{2}}} = e^2\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{n+\frac{3}{2}}}
Выносим n в знаменатель и применяем формулу Стирлинга:
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{n+\frac{3}{2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{3}{2}}} = \frac{1}{e^2}
Ответ: \frac{1}{e^2}
6)
Для решения этого предела нужно применить правило Лопиталя, так как знаменатель и числитель могут стремиться к бесконечности при x\to \infty:
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty } \frac{3x^{2}+ \sqrt[3]{x^{6} + 10x - 3+ 2x}}{7x^{2} - 5x + 1\ln(x^{2} + 3) - 9} &= \lim_{x\to\infty } \frac{6x + \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}(x^{6} + 10x - 3+ 2x)^{-\frac{2}{3}}}{14x - 5 + \frac{2x}{x^2+3}} \
&= \lim_{x\to\infty } \frac{6 + \frac{2}{3}x^{-\frac{8}{3}}(x^{6} + 10x - 3+ 2x)^{-\frac{2}{3}}}{14 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x(x^2+3)}} \
&= \frac{6}{14} \
&= \frac{3}{7}.
\end{align*}
Таким образом, \lim_{x\to\infty } \frac{3x^{2}+ \sqrt[3]{x^{6} + 10x - 3+ 2x}}{7x^{2} - 5x + 1\ln(x^{2} + 3) - 9} = \frac{3}{7}
Надеюсь поддержишь не легко было решить. Ошибки могут быть скажи переправлю