1.18. Даны прямые р,q,m и n.Известно, что прямые р, q,
м пересекаются в одной точке и прямые q, m, n также пере-
секаются в одной точке. Докажите, что все четыре прямые
проходят через одну точку.
Срочно
Ответы
Відповідь:
Пусть точки пересечения прямых р и q, q и м, m и n обозначены соответственно как A, B и C. Тогда по определению точки пересечения прямых, эти три точки лежат на прямых р, q, м и q, м, n.
Для доказательства того, что все четыре прямые проходят через одну точку, необходимо доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Для этого рассмотрим треугольник ABC.
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что если точки A, B и C лежат на одной прямой, то отрезок, соединяющий середины двух его сторон, перпендикулярен третьей стороне.
Обозначим середины отрезков AB и BC как M и N соответственно. Проведем отрезки AM и CN.
Так как точки A, B и C лежат на прямых р, q, м и q, м, n соответственно, то эти прямые являются трансверсалями и, следовательно, углы AMB и BNC смежные. Так как углы AMB и BNC смежные и прямые AM и CN пересекаются в точке B, то углы AMB и BNC дополнительные.
Таким образом, углы AMB и BNC равны 90 градусам. Отсюда следует, что MN перпендикулярен AC, что означает, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что если прямые р, q, м и q, м, n пересекаются в одной точке, то они проходят через одну точку.