У прямокутному трикутнику ABC (кутB= 90°) на катеті ВС по- значено точку К так, що СК : КВ = 2 : 1. Доведіть, що середина медіани ВМ лежить на відрізку АК.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Дано: прямокутний трикутник ABC, CK : KB = 2 : 1, М - середина AB.
Потрібно довести, що М лежить на АК.
Розв'язок:
Оскільки М - середина AB, то BM = MA.
Також з умови задачі маємо:
CK : KB = 2 : 1.
Поділимо обидві частини на CK:
KB/CK = 1/3.
З теореми Піфагора отримаємо:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
BM^2 + MA^2 = (BC/2)^2.
Так як BC = CK + KB, а CK : KB = 2 : 1, то маємо:
BC = 3KB.
Отже,
BM^2 + MA^2 = (3KB/2)^2.
BM^2 + MA^2 = 9KB^2/4.
Але BM = MA, тому:
2BM^2 = 9KB^2/4.
BM^2 = 9KB^2/8.
Підставимо це значення в попередню рівність:
2BM^2 + 2MA^2 = 9KB^2/2.
Звідси:
BM^2 + MA^2 = 9KB^2/4 = (3KB/2)^2.
Отже, за теоремою Піфагора, трикутник AMK є прямокутним, і КМ є його серединою.
Тому, за теоремою про медіану, середина медіани лежить на відрізку АК.
Отже, М лежить на АК, що й треба було довести.