Question

ABCD выпуклый четырехугольник. AB = 2 , AD = 7 , CD = 3. Биссектрисы острых углов DAB и ADC пересекаются в середине BC. Найдите квадрат площади ABCD

Answer 1

Ответ:

180.

Объяснение:

Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке E (благодаря тому, что углы A и D по условию острые, точка E их пересечения будет расположена так, как на чертеже). Обозначив середину стороны BC буквой F и учитывая, что биссектрисы пересекаются в одной точке, получаем, что AF, DF, EF - куски биссектрис треугольника AED до их точки пересечения. В треугольнике BEC биссектриса EF является одновременно медианой, поэтому этот треугольник равнобедренный, BE=CE, а EF одновременно является и высотой.

Для дальнейших рассуждений нам понадобится такой факт (любой желающий без проблем его докажет): один из углов между двумя биссектрисами треугольника равен 90°+ половина третьего угла.

Поэтому, если углы A и D равны $\alpha$  и  $\beta$ соответственно, то

     $\angle EFD=90^{\circ}+\dfrac{\alpha}{2}\Rightarrow \angle CFD=\dfrac{\alpha}{2};\ \angle EFA=90^{\circ}+\dfrac{\beta}{2}\Rightarrow \angle BFA=\dfrac{\beta}{2}.$  

Вывод: треугольники ABF, FCD и AFD подобны. Обозначим BF=FC=x; AF=y; FD=z. Из подобия первого треугольника и второго получаем

                                     $\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{3}\Rightarrow x^2=6;\ x=\sqrt{6}.$

Из подобия первого и третьего треугольников получаем

                                            $\dfrac{2}{y}=\dfrac{y}{7}\Rightarrow y=\sqrt{14}.$

Из подобия второго и третьего треугольников получаем

                                             $\dfrac{3}{z}=\dfrac{z}{7}\Rightarrow z=\sqrt{21}.$

Для упрощения выкладок рассмотрим еще один треугольник, подобный этим трем  - со сторонами $\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{7}.$ Найдем по теореме косинусов угол против стороны $\sqrt{7}:$

              $7=2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}\cos \varphi;\ \cos \varphi=-\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Rightarrow \sin\varphi=\sqrt{\dfrac{5}{6}};$

поэтому его площадь равна

                                $s_0=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

Наши три треугольника, подобных этому с коэффициентами подобия $\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{7}$ , будут иметь площади, получаемые из найденной площади домножением на квадрат коэффициента подобия, а поскольку исходный четырехугольник состоит из этих трех треугольников, его площадь будет равна

                $S=(2+3+7)\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}=6\sqrt{5}\Rightarrow S^2=36\cdot 5=180.$