Question

На стороні АС трикутника АВС позначено точку М так, що AB/MC = m/n
доведіть що S abm/S cbm = m/n
Допоможіть будь ласка!(​

Answer 1

Відповідь:

Для доведення цього твердження використаємо теорему про трикутники, яка говорить, що якщо два трикутники мають спільну висоту, то їхні площі пропорційні довжинам відповідних основ.

Позначимо площі трикутників ABC і ABM через S_ABC і S_ABM відповідно. Також позначимо довжини відрізків AB, BM і MC через a, b і c відповідно.

За умовою, маємо:

AB/MC = m/n

Оскільки відрізок MC є частиною відрізка AC, то можемо записати:

AB/AC = AB/(AB + BC) = m/(m + n)

AB = ma/(m + n) і BC = na/(m + n)

Тепер можемо знайти довжину відрізка BM:

BM = BC - MC = na/(m + n) - c

Тоді, використовуючи формулу площі трикутника через довжину основи та висоту, маємо:

S_ABC = (1/2)ab і S_ABM = (1/2)abm/(m + n)

Також маємо:

S_CBH/S_ABH = CB/AB = n/(m + n)

де H - це точка перетину висот трикутників ABM і ABC.

Звідси маємо:

S_CBH = nS_ABH/(m + n) = nab/(2(m + n))

За теоремою про трикутники, площі трикутників ABM і CBM пропорційні їхнім відповідним основам, тобто:

S_ABM/S_CBM = BM/BC = (na/(m + n) - c)/(na/(m + n)) = (m + n)/(m + n) - cna/(na(m + n)) = (m + n - c)/(m + n)

Отже,

S_ABM/S_CBM = (m + n - c)/(m + n) = m/n (після заміни AB і BC)

Таким чином, довели твердження.

Пояснення: