Question

знайти точку максимуму функцій
​

Answer 1

Пояснення:

1)

$\displaystyle\\f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2- 3x\\\\f'(x)= (\frac{x^3}{3}-x^2- 3x)'=\frac{3x^2}{3} -2*x-3=x^2-2x-3.\\\\x^2-2x-3=0\\\\x^2-3x+x-3=0\\\\x*(x-3)+(x-3)=0\\\\(x-3)*(x+1)=0.$

$\displaystyle\\x-3=0\\\\x_1=3.\\\\x+1=0\\\\x_2=-1.\\\\f(3)=\frac{3^3}{3} -3^2-3*3=9-9-9=-9.\\\\f(-1)=\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2-3*(-1)=-\frac{1}{3} -1+3=1\frac{2}{3} =\frac{5}{3}.$

Знайдемо другу похідну:

$f''(x)=(x^2-2x-3)'=2x-2.\\\\f''(3)=2*3-2=6-4=4 > 0\\\\f''(-1)=2*(-1)-2=-2-2=-4 < 0.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow$

Відповідь:  f(-1) - точка максимуму функції .

2)

$\displaystyle\\f(x)=\frac{2}{x} +\frac{x}{2} \ \ \ \ \ \ x\neq 0.\\\\f(x)=(\frac{2}{x} +\frac{x}{2})'=(2x^{-1})'+(\frac{1}{2}x) '=-2x^{-2}+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2} =\\\\=\frac{x^2-4}{2x^2}=\frac{x^2-2^2}{2x^2}= \frac{(x+2)(x-2)}{2x^2} .$

$\displaystyle\\\frac{(x+2)(x-2)}{2x^2} =0\\\\(x+2)(x-2)=0\\\\x+2=0\\\\x_1=-2\\\\x-2=0\\\\x_2=2.\\\\f(-2)=\frac{2}{-2}+\frac{-2}{2}=-1+(-1)=-2. \\\\f(2)=\frac{2}{2} +\frac{2}{2} =1+1=2.$

Знайдемо другу похідну:

$\displaystyle\\f''(x)=(\frac{x^2-4}{2x^2} )'=\frac{(x^2-4)'*2x^2-(x^2-4)*(2x^2)'}{(2x^2)^2} =\frac{2x*2x^2-(x^2-4)*4x}{4x^4} =\\\\=\frac{4x^3-4x^3+16x}{4x^4} =\frac{16x}{4x^4} =\frac{4}{x^3} .\\\\f(-2)=\frac{4}{(-2)^3}=\frac{4}{-8}=-\frac{1}{2} < 0.\\\\ f(2)=\frac{4}{2^3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} > 0.$

Відповідь:  f(-2) - точка максимуму функції .