Question

[100 б] Обчислити площу фігури, обмежену кривими:

Answer 1

Ответ:

Фигура ограничена линией    $\boldsymbol{\rho =cos\varphi -sin\varphi }$  .  

Это окружность с центром в точке  ( 0,5 ; -0,5 ) и радиусом  R=1/√2  ,  то есть уравнение в декартовых координатах выглядит так :

$\bf \bigg (x-\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{2}\bigg)^2=\dfrac{1}{2}$              

Так как чертить в полярной системе координат кривую долго и много надо провести вычислений, переведём уравнение из полярной системы координат в декартовую . Формулы перехода:

$\bf x=\rho \, cos\varphi \ ,\ \ y=\rho \, sin\varphi \ \ ,\ \ \rho ^2=x^2+y^2\ \ \ \Rightarrow$      

$\bf cos\varphi =\dfrac{x}{\rho }=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ ,\ \ sin\varphi =\dfrac{y}{\rho }=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$    

Подставим в заданное уравнение необходимые выражения :

$\bf \sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\\x^2+y^2=x-y\\\\(x^2-x)+(y^2+y)=0\\\\\bigg(x-\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{1}{4}+\bigg(y+\dfrac{1}{2}\bigg)^2-\dfrac{1}{4}=0\\\\\bigg(x-\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{2}\bigg)^2=\dfrac{1}{2}\ \ \ ,\ \ \ R=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0,707\ \ ,\ \ C\Big(\ \dfrac{1}{2}\ ;\, -\dfrac{1}{2}\Big)$  

Площадь фигуры, ограниченной такой кривой (окружностью) - это площадь круга с радиусом  $\bf R=\dfrac{1}{\sqrt2}$   .  Она  равна

$\bf S=\pi R^2=\pi \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi }{2}$

Можно вычислить площадь круга по формуле площади криволинейного сектора в полярной системе координат:  

 $\displaystyle \bf S=\dfrac{1}{2}\int\limits_{\alpha }^{\beta } \, \rho ^2(\varphi )\, d\varphi$    

$\displaystyle \bf S=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \, (cos\varphi -sin\varphi )^2\, d\varphi =\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \, (sin^2\varphi +cos^2\varphi -2\, sin\varphi \cdot cos\varphi )\, d\varphi =$

$\displaystyle \bf =\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \, (1-sin2\varphi )\, d\varphi =\dfrac{1}{2}\cdot \Big(\varphi +\dfrac{1}{2}\, cos2\varphi \Big)\Big|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2} }=\\\\\\=\frac{1}{2}\, \Big(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot cos\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\cdot cos(-\pi)\Big)=\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\Big)=\frac{\pi }{2}$