Материальная точка участвует одновременно в двух
гармонических колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и
имеющих одинаковые амплитуды и частоты, но отличающиеся по
фазе на π/3. Уравнение смещения результирующего колебания в
единицах системы СГС имеет вид: х=cosωt. Определить амплитуды и
начальные фазы слагаемых колебаний и написать уравнение этих
колебаний.
Ответы
Пусть материальная точка движется с амплитудой A и частотой ω в двух гармонических колебаниях. Тогда уравнения этих колебаний будут иметь вид:
x₁ = A cos(ωt + φ₁)
x₂ = A cos(ωt + φ₂ + π/3)
где φ₁ и φ₂ - начальные фазы колебаний.
Результирующее колебание определяется как сумма этих двух колебаний:
x = x₁ + x₂
= A cos(ωt + φ₁) + A cos(ωt + φ₂ + π/3)
= A (cos(ωt + φ₁) + cos(ωt + φ₂ + π/3))
Используя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получим:
x = 2A cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2) cos(ωt + (φ₁ + φ₂ + π/3)/2)
Сравнивая это уравнение с x = cos(ωt), видим, что:
2A cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2) = 1
(φ₁ + φ₂ + π/3)/2 = 0
Отсюда находим:
A = 1/(2 cos(π/6 + (φ₂ - φ₁)/2))
φ₁ + φ₂ = -π/3
Заметим, что если φ₂ - φ₁ = π/2, то A = 1/2, что является максимальной амплитудой в данной задаче. Таким образом, решение имеет единственное значение: φ₂ - φ₁ = π/2 - π/6 = π/3.
Итак, имеем:
φ₂ - φ₁ = π/3
A = 1/(2 cos(π/6 + π/6))
= 1/(2 cos π/3)
= 1
φ₂ = φ₁ + π/3
A₁ = A cos(φ₁ + π/6)
= A cos(π/6 - φ₂/2)
= cos(π/6 - π/6)/2
= 1/2
A₂ = A cos(φ₂ + π/6)
= A cos(2π/3 - φ₁/2)
= cos(π/6 + π/3)/2
= √3/2
Таким образом, уравнения колебаний имеют вид:
x₁ = 1/2 cos(ωt + π/6)
x₂ = √3/2 cos(ωt + 2π/3 + π/6)