2.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВD. Найдите градусные меры углов BDC и ВСА, если < 1= 105°. (4 балла)
Ответы
Відповідь:Из условия задачи известно, что треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС, а медиана BD пересекает сторону АС в ее середине, то есть точке M. Причем, согласно свойству медианы, BM=DM. Обозначим угол BDC через x, а угол ВСА через y.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол АВС также равен 105°, что значит, что угол АВС = угол АСВ = 105°/2 = 52.5°.
Также из свойств равнобедренного треугольника известно, что угол ВАС также равен 52.5°.
Теперь рассмотрим треугольник BDM. Так как BM=DM, то угол BMD = угол DMB, а сумма углов треугольника равна 180°, то угол BMD = угол DMB = (180° - угол BDM) / 2.
Но заметим, что угол BDM = угол ВАС, так как они оба опираются на сторону АС и пересекаются в точке D, которая является серединой стороны АС. Таким образом, угол BMD = угол ВАС = 52.5°.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, x + (180° - 2x) + y = 180°, откуда получаем, что y = x + 105°.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
x + (180° - 2x) + y = 180°
y = x + 105°
Подставляем выражение для y в первое уравнение и получаем:
x + (180° - 2x) + x + 105° = 180°
Решаем уравнение и получаем:
x = 37.5°
Таким образом, угол BDC равен 37.5°.
Используя выражение для y, получаем:
y = x + 105° = 37.5° + 105° = 142.5°
Таким образом, угол ВСА равен 142.5°.
Ответ: угол BDC равен 37.5°, угол ВСА равен 142.5°.
Пояснення: