Question

4. Вычисли sin3x/ sinx + cos3x/cosX . если х =п/6​

Answer 1

Формула синуса суммы:

$\sin(\alpha +\beta )=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$

Рассмотрим выражение:

$\dfrac{\sin3x}{\sin x} +\dfrac{\cos3x}{\cos x} =\dfrac{\sin3x\cos x}{\sin x\cos x} +\dfrac{\cos3x\sin x}{\sin x\cos x} =\dfrac{\sin3x\cos x+\cos3x\sin x}{\sin x\cos x} =$

$=2\cdot\dfrac{\sin(3x+x)}{2\sin x\cos x} =2\cdot\dfrac{\sin4x}{\sin 2x} =2\cdot\dfrac{2\sin2x\cos2x}{\sin 2x} =2\cdot2\cos2x=4\cos2x$

При $x=\dfrac{\pi }{6}$:

$4\cdot\cos\left(2\cdot\dfrac{\pi }{6}\right) =4\cdot\cos\dfrac{\pi }{3}=4\cdot\dfrac{1 }{2}=2$

Ответ: 2