Question

5. Прямоугольный участок площадью 8100 м² огораживают забором. Каковы долж быть размеры участка, чтобы на забор ушло наименьшее количество материала? задачу с помощью производной.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть стороны прямоугольного участка равны x и y метров соответственно, тогда его площадь будет равна:

S = xy = 8100 м²

Необходимо найти размеры прямоугольного участка, чтобы на забор ушло наименьшее количество материала, т.е. периметр забора должен быть минимальным. Периметр забора для данного случая равен:

P = 2x + 2y

Выразим y через x из уравнения площади:

y = S/x

Подставим это выражение в формулу для периметра:

P = 2x + 2y = 2x + 2(S/x)

Упростим выражение для периметра:

P = 2x + 2(S/x) = 2(x + S/x)

Теперь возьмем производную P по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти значение x, при котором периметр минимален:

P'(x) = 2 - 2(S/x²) = 0

Отсюда получаем:

2(S/x²) = 2

x² = S

$x = \sqrt{S} = \sqrt{8100} = 90$

Таким образом, стороны прямоугольного участка должны быть равны 90 м и 90 м, чтобы на забор ушло наименьшее количество материала.