Question

Помогите пожалуйста исследовать функцию ​

Answer 1

Ответ:

1.  х ∈ R

2.  функция нечетная

3.  Пересекает оси в точке (0;0)

4.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

5.  Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞)

Функция возрастает на промежутке: [-1; 1]

x min = -1;   x max = 1

6.  Функция выпукла на промежутках: [-∞; -√3]; [0; √3]

Функция вогнута на промежутках: [-√3; 0]; [√3; +∞)

Точки перегиба: х = {-√3; 0; √3}

Объяснение:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления

И, используя результаты исследования, построить ее график:

$\displaystyle \bf y=xe^{-\frac{x^2}{2} }$

Сразу отметим, что $\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2} }$ - число положительное.

1. Область определения функции.

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=-x\cdot e^{-\frac{(-x)^2}{2} }=-xe^{-\frac{x^2}{2} }$

y(-x) = -y(x) ⇒ функция нечетная.

3. Пересечение с осями.

х = 0; у = 0.

Пересекает оси в точке (0;0)

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонная: y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x^2}{2} }} =\frac{1}{\infty} =0$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x^2}{2} }} =0$

⇒ y = 0 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle y'=1\cdot e^{-\frac{x^2}{2} }+x\cdot e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot(-\frac{2x}{2})=e^{-\frac{x^2}{2} } (1-x^2)$

$\displaystyle y'=0\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;e^{-\frac{x^2}{2} }(1-x)(1+x)=0\\\\x_1 = 1;\;\;\;\;\;x_2=-1$

$---[-1]+++[1]---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [1; +∞)

Функция возрастает на промежутке: [-1; 1]

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

x min = -1;   x max = 1

$\displaystyle y(-1) = -1\cdot e^{-\frac{1}{2} }=-\frac{1}{\sqrt{e} } \approx -0,6;\;\;\;\;\;y(1)=0,6$

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle y''=e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot (-\frac{2x}{2}) \cdot (1-x^2)+e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot (-2x)=\\\\=e^{-\frac{x^2}{2} }(-x+x^3-2x)=e^{-\frac{x^2}{2} }(x^3-3x)$

$\displaystyle y''=0\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;e^{-\frac{x^2}{2} }\cdot x(x-\sqrt{3} )(x+\sqrt{3} )=0\\\\x_1 = 0;\;\;\;\;\;x_2=\sqrt{3};\;\;\;\;\;x_3=-\sqrt{3}$

$---[-\sqrt{3} ]+++[0]---[\sqrt{3} ]+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция выпукла на промежутках: [-∞; -√3]; [0; √3]

Функция вогнута на промежутках: [-√3; 0]; [√3; +∞)

Точки перегиба: х = {-√3; 0; √3}

$\displaystyle y(-\sqrt{3})=-\sqrt{3} \cdot e^{-\frac{3}{2} } =-\frac{\sqrt{3} }{e\sqrt{e} } \approx -0,4;\;\;\;y(\sqrt{3})\approx 0,4;\;\;\;y(0)=0$

Строим график.