Question

Помогите пожалуйста решить 6.1 и 6 2​

Answer 1

Ответ:

Сходится; расходится.

Объяснение:

6.1.  $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}+7^n} < \dfrac{1}{7^n}=b_n.$ Поскольку ряд $\sum b_n$ сходится (ведь это же бесконечная убывающая геометрическая прогрессия (кто это забыл, можете применить признак Даламбера или радикальный признак Коши)), ряд  $\sum a_n$ также сходится по признаку сравнения для положительных рядов.

6.2.  $a_n=\dfrac{1}{\ln n} > \dfrac{1}{n}=b_n.$  Поскольку ряд $\sum b_n$  расходится (ведь это же знаменитый гармонический ряд (кто это забыл, примените интегральный признак Коши)), ряд  $\sum a_n$  также расходится по признаку сравнения для положительных рядов.

Если Вы сомневаетесь в неравенстве $a_n > b_n,$ можно поступить так: докажем, что $\ln x < x$ при x>1. Для этого рассмотрим функцию

$f(x)=\ln x -x.$ Имеем: f(1)=ln 1-1=0-1=-1<0;  $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1 < 0$ при x>1, поэтому функция убывает. А раз при x=1 она отрицательна, то и справа от 1 она будет отрицательной. Итак, доказано, что ln x<x при x>1, а поскольку обе функции положительны, справедливо неравенство $\dfrac{1}{\ln x} > \dfrac{1}{x}.$