Question

диагонали прямого параллепипеда равны 8 и 10 м стороны основания 5 и 3 м найдите его объем

Answer 1

См.рис.
По теореме косинусов
$BD^2=BC^2+CD^2-2cdot BCcdot CDcdotcos C=25+9-2cdot5cdot3cdotcos C=\=34-30cdotcos C\AC^2=AD^2+CD^2-2cdot ADcdot CDcos D=\=25+9-2cdot5cdot3cos (180^o-C)=34+30cos C$
Треугольники BDB1 и CAC1 прямоугольные, т.к. параллелепипед прямой. По т.Пифагора:
$BB_1=sqrt{B_1D^2-BD^2}=sqrt{64-34+30cos C}=sqrt{30+30cos C}\CC_1=sqrt{AC_1^2-AC^2}=sqrt{100-34-30cos C}=sqrt{66-30cos C}\BB_1=CC_1Rightarrowsqrt{30+30cos C}=sqrt{66-30cos C}\30+30cos c=66-30cos C\60cos C=36\cos C=0,6\sin C=sqrt{1-cos^2C}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8\BD^2=34-30cdot0,6=34-18=16Rightarrow BD=4\BB_1=sqrt{30+30cdot0,6}=sqrt{30+18}=sqrt{48}=4sqrt3\V=S_{OCH}cdot BB_1\S_{OCH}=BCcdot CDcdotsin C=5cdot3cdot0,8=12\V=12cdot4sqrt3=48sqrt3$