Знайти рівняння кривої, що проходить через точку (-1,-1) та має таку властивість, при якій дотична, проведена в будь-якій точці кривої, відсікає на осі ох відрізок, рівний квадрату абсциси точки дотику.
Ответы
Ответ:Давайте позначимо рівняння кривої, що проходить через точку (-1,-1), як y = f(x). Згідно з умовою, в будь-якій точці (x, f(x)) нашої кривої, дотична відсікає на осі Ох відрізок, рівний квадрату абсциси точки дотику.
Нехай P(x,f(x)) буде точкою нашої кривої. Тоді, на основі умови, можна записати:
f'(x) * x^2 = (f(x) - 0)^2
де f'(x) - похідна від f(x) за змінною x, яка показує нахил дотичної в точці P. Ми можемо записати це рівняння у вигляді:
f'(x) = (f(x))^2 / x^2
Це диференційне рівняння можна розв'язати, щоб отримати функцію f(x), що відповідає кривій з умови. Для цього ми можемо скористатися методом розділення змінних та інтегруванням обох сторін рівняння:
∫(1/f(x)^2) df(x) = ∫(1/x^2) dx
Таким чином, ми отримуємо:
-1/f(x) = -1/x + C
де С - константа інтегрування. Підставляючи умову f(-1) = -1, отримуємо:
C = -1 + 1/f(-1) = -1 - 1 = -2
Тоді рівняння кривої, яке задовольняє умову, буде мати вигляд:
-1/f(x) = -1/x - 2
або
f(x) = -x / (x + 2)
Отже, рівняння кривої, яка проходить через точку (-1,-1) та має властивість, яка описана в умові, має вигляд: y = -x / (x + 2).
Пошаговое объяснение: