Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = √x, y=1/3x.

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченный линиями у = √х, у = 1/3 х равно 4,5(ед)²

Объяснение:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √x, y=(1/3)x.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

у = √х - зелёная кривая.

у = 1/3x - черная прямая.

• Найдем точки пересечения этих графиков:

√х = (1/3)х | *3

3√х = х

• Обе стороны неотрицательные, значит сможем их возвести в квадрат.

9х = х²

9х - х² = 0

х(9-х) = 0

• Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю.

х₁ = 0 или 9-х = 0

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀х₂ = 9

• Площадь криволинейной трапеции найдем с помощью определенного интеграла, в пределах от 0 до 9, т.е. область закрашенную красным оттенком.

• Формулы:

$\displaystyle \tt \int\limits x^n \, dx = \frac{ x {}^{n+1} }{n+1} + C$

$\displaystyle \tt \int \sqrt{x} \: dx = \frac{2x \sqrt{x} }{3} + C$

• Переходим к решению:

$\displaystyle \int\limits^9_0 \bigg( \sqrt{x} - \frac{x}{3} \bigg)\, dx = \frac{2x \sqrt{x} }{3} - \frac{x {}^{2} }{6} \bigg |^9_0 = \bigg( \frac{2\,*\,9\,*\, \sqrt{9} }{3} - \frac{9 {}^{2} }{6} \bigg) - \bigg( \frac{2\,*\,0\,*\, \sqrt{0} }{3} - \frac{0 {}^{2} }{6} \bigg) =$

$\displaystyle = \bigg( \frac{2\,*\,9\,*\, 3}{ 3} - \frac{ 81}{ 6} \bigg) - 0 =18 - \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = \bf4,5(ed) {}^{2}$

#SPJ1