Через вершину D прямокутника АВСD до його площини проведено перпендикуляр DE. Точка E віддалена від сторони АВ на 10 см а від сторони ВС на 17 см.Знайдіть довжину діагоналі ВD якщо DE=8см.
Ответы
Відповідь:
Позначимо точку на стороні АВ, на відстані 10 см від точки D, як F. Аналогічно, позначимо точку на стороні ВС, на відстані 17 см від точки D, як G. Оскільки прямокутник АВСD — прямокутник, то AD = BC і AB = CD. Позначимо довжину сторони прямокутника AB = x і довжину сторони BC = y.
Таким чином, знаходимо довжину сторін:
AD = BC = x
AB = CD = y
За теоремою Піфагора в трикутниках АDE і ВDG:
AD² − DE² = AE²
BD² − DE² = BG²
Підставляємо вирази для AD та BD:
x² − 8² = AF²
y² − 8² = BG²
Оскільки точка D є вершиною прямокутника, то точки F та G лежать на одній прямій з точкою D. Тому ми можемо записати:
AF + BG = BD
Підставляємо вирази для AF та BG:
√(x² − 8²) + √(y² − 8²) = √(x² + y²)
Ми маємо дві невідомі x та y, тому ми не можемо розв'язати це рівняння без додаткових умов. Але ми можемо використати дані про DE, щоб знайти значення x та y. За теоремою Піфагора в трикутнику ADE:
AE² + DE² = AD²
Підставляємо вирази для AE та AD:
(10 + y)² + 8² = x²
За тією ж теоремою в трикутнику BDG:
BG² + DG² = BD²
Підставляємо вирази для BG та BD:
(17 + x)² + 8² = y²
Отже, у нас є два рівняння з двома невідомими x та y:
(10 + y)² + 8² = x²
(17 + x)² + 8² = y²
Ми можемо використати ці рівняння, щоб знайти значення x та y. Після цього ми можемо використати формулу для діагоналі прямокутника:
BD² = AB² + BC²
Підставляємо вирази для AB та BC:
BD² = x² + y²