Question

1. Сфера задана уравнением x^2 + y^2 + z^2 + 2y – 4z = 4.

a) Найдите координаты центра и радиуса сферы.

b) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и В(1; 1; m — 2) принадлежат данной сфере.

Answer 1

Ответ:

Уравнение сферы

Сфера задана уравнением x^2 + y^2 + z^2 + 2y – 4z = 4.

Это уравнение задает сферу в трехмерном пространстве с центром в точке (-0,1,2) и радиусом 2.

Для того, чтобы увидеть это, можно привести уравнение к стандартной форме уравнения сферы:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2

где (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, r - радиус.

Для начала перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

x^2 + y^2 + z^2 + 2y – 4z - 4 = 0

Теперь добавим и вычтем необходимые значения для завершения квадратов по x, y и z:

x^2 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 - 1 = 0

x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9

Таким образом, центр сферы имеет координаты (-0,1,2), а радиус равен 3.

b) Для того, чтобы точка принадлежала сфере, ее координаты должны удовлетворять уравнению сферы:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2

где (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, r - радиус.

Из данного уравнения сферы x^2 + y^2 + z^2 + 2y – 4z = 4 можно выразить координаты центра сферы:

x0 = 0

y0 = -1

z0 = 2

r = 2

Подставляя координаты точки A(0; m; 2), получаем:

(0 - 0)^2 + (m - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = 2^2

(m + 1)^2 = 4

m + 1 = ±2

m = -1 ± 2

Таким образом, m может принимать два значения: m = -3 и m = 1.

Аналогично, подставляя координаты точки B(1; 1; m - 2), получаем:

(1 - 0)^2 + (1 - (-1))^2 + (m - 2 - 2)^2 = 2^2

(m - 4)^2 = 4

m - 4 = ±2

m = 2 ± 2

Таким образом, здесь также получаем два возможных значения: m = 0 и m = 4.

Итак, мы получили четыре возможных значения m, при которых точки А(0; m; 2) и В(1; 1; m — 2) принадлежат данной сфере: m = -3, m = 1, m = 0 и m = 4.