Дано точки 1;3;−1 , 1;−5;−3 , −1;0;4 , 5;−1;−3 . Знайти: 1) модуль вектора = + 2;
2) скалярний добуток векторів і ;
3) проекцію вектора на вектор ;
4) векторний добуток векторів і ;
5) встановити, чи компланарні вектори , і , у випадку їх некомпланарності з’ясувати, яку трійку (праву чи ліву) вони утворюють, і обчислити об’єм побудованої на них піраміди.
Ответы
Ответ:1. Модуль вектора
Для знаходження модуля вектора необхідно обчислити корінь квадратний зі скалярного добутку вектора на самого себе:
||v|| = √(v·v)
Точки задані у вигляді координат, тому їх легко перетворити на вектори:
a = (1, 3, -1)
b = (1, -5, -3)
c = (-1, 0, 4)
d = (5, -1, -3)
1) ||a|| = √(1^2 + 3^2 + (-1)^2) = √11
||b|| = √(1^2 + (-5)^2 + (-3)^2) = √35
||c|| = √((-1)^2 + 0^2 + 4^2) = 2
||d|| = √(5^2 + (-1)^2 + (-3)^2) = √35
Отже, ||a|| = √11, ||b|| = √35, ||c|| = 2, ||d|| = √35.
2. Скалярний добуток векторів
Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою:
u · v = u1v1 + u2v2 + u3*v3,
де u = (u1, u2, u3) та v = (v1, v2, v3) - вектори, а u · v - їх скалярний добуток.
Знайдемо скалярний добуток векторів a та b:
a · b = 11 + 3(-5) + (-1)*(-3) = -7
Отже, a · b = -7.
3. Проекція вектора на вектор
Проекція вектора a на вектор b обчислюється за формулою:
proj_b a = ((a · b) / ||b||^2) * b
Знайдемо проекцію вектора a на вектор b:
proj_b a = ((a · b) / ||b||^2) * b = (-7 / 35) * (1, -5, -3) = (-0.2, 1, 0.6)
Отже, proj_b a = (-0.2, 1, 0.6).
4. Векторний добуток векторів
Векторний добуток векторів обчислюється за формулою:
u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
Знайдемо векторний добуток векторів a та b:
a x b = (3*(-3) - (-1)(-5), (-1)1 - 1(-3), 1(-5) - 3*1) = (-4, 2, -8)
Отже, a x b = (-4, 2, -8).
5. Компланарність і об’єм піраміди
Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або паралельній площині. Для перевірки компланарності можна використовувати векторний добуток: якщо a x b = 0, то вектори компланарні.
Перевіримо компланарність векторів:
a x b = (-4, 2, -8)
a x c = (13, 3, 3)
a x d = (-26, -14, -14)
b