В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Ответы
Ответ:
Найти гипотенузу треугольника.
Діана Думбрава
В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$. Тогда медианы, проведенные к катетам, равны:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \sqrt{89}$$
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \sqrt{116}$$
Решая эту систему уравнений относительно $a^2$ и $b^2$, получим:
$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4m_a^2 = 198 + 2c^2$$
$$b^2 = 2a^2 + 2c^2 - 4m_b^2 = 232 + 2c^2$$
Сложим эти выражения:
$$a^2 + b^2 = 430 + 4c^2$$
Но мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, поэтому:
$$c^2 = 430 + 4c^2$$
$$3c^2 = 430$$
$$c^2 = \frac{430}{3}$$
Таким образом, гипотенуза равна:
$$c = \sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$$
Ответ: $\sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$.
Объяснение:
Найти гипотенузу треугольника.
Діана Думбрава
В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны √89 см и √116 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $a$ и $b$, а гипотенузу через $c$. Тогда медианы, проведенные к катетам, равны:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \sqrt{89}$$
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \sqrt{116}$$
Решая эту систему уравнений относительно $a^2$ и $b^2$, получим:
$$a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4m_a^2 = 198 + 2c^2$$
$$b^2 = 2a^2 + 2c^2 - 4m_b^2 = 232 + 2c^2$$
Сложим эти выражения:
$$a^2 + b^2 = 430 + 4c^2$$
Но мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$, поэтому:
$$c^2 = 430 + 4c^2$$
$$3c^2 = 430$$
$$c^2 = \frac{430}{3}$$
Таким образом, гипотенуза равна:
$$c = \sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$$
Ответ: $\sqrt{\frac{430}{3}} \approx 11.78,\text{см}$.
Ответ:
один катат равен 8 см, другой – 10см. гипотенуза = sqrt( 10^2 + 8^2) = 2sqrt(41)
Объяснение: