из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. найдите расстояние между точками касания А и В, если угол АОВ = 120 градусам и МО = 10
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Нужно знать:
1. Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
4. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.
Решение. Так как радиусы OA и OB окружности перпендикулярны (свойство 1) касательным MA и MB, соответственно, то образуются равные (два катета одного треугольника равны двум катетам другого) прямоугольники OAM и OBM: OA = OB - радиусы, (свойство 2) MA=MB - отрезки касательных (см. рисунок).
По условию ∠AOB = 120°, значит ∠AOM=60° и ∠AMO=30°. Тогда, в силу свойства 3, OM = 10 и радиусы OA=OB=10:2=5.
Теперь применим теорему косинусов:
SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/dfa/dfafb102e39ad33f794120b965d160e3.png)