4. Постройте график квадратичной функции у =-x2 + 8x - 7. Найдите а) промежутки монотонности; б) значение аргумента, при которой функция прини- мает положительные значения.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для построения графика квадратичной функции $y=-x^2+8x-7$ можем использовать несколько способов. Один из них - построить таблицу значений и по ней построить график.
x y
0 -7
1 0
2 1
3 2
4 1
5 -2
6 -7
Теперь по этой таблице можно построить график:
а) Промежутки монотонности - это промежутки, на которых функция возрастает или убывает. Квадратичная функция может иметь только один экстремум (минимум или максимум), поэтому она будет монотонно возрастать до точки экстремума и монотонно убывать после этой точки.
Для нахождения точки экстремума используем формулу $x=-\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=8$. Подставляем:
$$x=-\frac{8}{2(-1)}=4$$
Значит, точка экстремума находится в точке $(4,-7)$. Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутке $(-\infty,4)$ и монотонно убывает на промежутке $(4,+\infty)$.
б) Значение аргумента, при котором функция принимает положительные значения, можно найти, решив неравенство $-x^2+8x-7>0$. Преобразуем это неравенство:
$$-x^2+8x-7>0 \Rightarrow x^2-8x+7<0$$
Решаем это неравенство с помощью метода интервалов:
$$(x-1)(x-7)<0$$
x<1 1<x<7 x>7
- + +
x^2-8x+7 + - +
Таким образом, $x$ должен находиться на интервале $(1,7)$, чтобы функция $y=-x^2+8x-7$ принимала положительные значения.