7. Дан параллелепипед ABCDA,B,C,D1 . B1A1 = ā, BC = bBB = С. Разложите вектор В, М Б,В,В по векторам ã, b, c, если М = [AC] принадлежит [BD]
Ответы
Ответ:
Давайте начнем с определения векторов a, b и c на основе предоставленной информации.
Исходя из приведенной информации, у нас есть:
ABCDA = a + b + c + d + a
B = b
C = b + b
D1B1A1 = d + b + a + b + a
Чтобы разложить вектор B в терминах a, b и c, нам нужно найти скаляры x, y и z такие, что:
B = xa + yb + z*c
Чтобы решить для x, y и z, мы можем использовать тот факт, что M = [AC] принадлежит [BD]. Это означает, что вектор от B до D является скалярным кратным вектору от A до C, или:
D - B = t*(C - A)
где t - скаляр. Мы можем подставить выражения для A, B, C и D, чтобы получить:
(d + b + a + b + a) - b = t*(2b + c - a - b)
Упрощая, мы получаем:
d + a = t*(b + c - a)
Аналогично, мы можем использовать тот факт, что M принадлежит [BD], чтобы получить:
M - B = s*(D - B)
где s - скаляр. Подставляя, как и прежде, мы получаем:
(b + b) - b = s*((d + b + a + b + a) - b)
Упрощая, мы получаем:
b = s*(2a + 2b + d)
Теперь у нас есть два уравнения, включающие a, b и c:
d + a = t*(b + c - a)
b = s*(2a + 2b + d)
Мы можем решить для a и b в терминах c во втором уравнении и подставить в первое уравнение, чтобы получить уравнение, включающее только c:
d + a = t*(3c - a - d)
b = s*(2a + 2s - d) = s*(4c - a - d)
Решая для a и b в терминах c, мы получаем:
a = (3tc + td - d)/(t + 1)
b = (4sc - sa - sd)/(2s - 1)
Теперь мы можем разложить вектор B в терминах a, b и c, используя эти выражения для a и b:
B = xa + yb + zc
= x(3tc + td - d)/(t + 1) + y*(4sc - sa - sd)/(2s - 1) + z*c
где x, y и z - скаляры, для которых нам нужно решить. Для этого мы можем использовать тот факт, что B = b и C = 2b. Мы можем подставить эти выражения в уравнение декомпозиции, чтобы получить:
b = x*(3tc + td - d)/(t + 1) + y*(4sc - sa - sd)/(2s - 1) + zc
2b = x(3tc + td - d)/(t + 1) + y*(4sc - sa - sd)/(2s - 1) + 2z*c
Упрощая, мы получаем:
x*(3tc + td - d)/(t + 1) + y*(4sc - sa - sd)/(2s - 1) + zc = b
x(3tc + td - d)/(t + 1) + y*(4sc - sa - sd)/(2s - 1) + 2z*c = 2b