Найдите десятый член геометрической прогрессии, если известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно - 216
Ответы
Обозначим первый член геометрической прогрессии как a₁, а знаменатель как r. Тогда мы можем выразить четвертый, шестой и двадцатый члены как:
а₄ = а₁r³ а₆ = а₁r⁵ а₂₀ = а₁r¹⁹
Мы знаем, что произведение этих членов равно -216:
а₁r³ * а₁r⁵ * а₁r¹⁹ = -216
Упрощая, получаем:
а₁²r²⁷ = -216
Извлекая 10-й корень из обеих частей (так как мы хотим найти 10-й член), мы получаем:
а₁r⁹ = ±6
Теперь нам нужно решить еще одно уравнение для a₁ и r. Воспользуемся тем, что 6-й член равен a₆ = a₁r⁵. Мы можем выразить это через a₁ и r, используя только что найденное уравнение:
а₆ = а₁r⁵ = а₁r⁹ * r⁻⁴ = ±6 * r⁻⁴
Решив относительно r, получим:
г⁸ = (±6/а₁)²
г = ± (6 / а₁) ^ (1/8)
Мы можем выбрать положительный корень, так как знаменатель должен быть положительным для геометрической прогрессии. Теперь мы можем подставить это выражение для r в уравнение a₁r⁹ = ±6, чтобы получить:
а₁[(6/а₁)^(9/8)] = ±6
Упрощая, получаем:
а₁ = ±6[(6/а₁)^(1/8)]^(9/8)
а₁ = ± 6 (6) ^ (9/64)
Извлекая положительный корень (поскольку a₁ должен быть положительным), получаем:
а₁ = 6(6)^(9/64)
Теперь мы можем использовать формулу для 10-го члена геометрической прогрессии:
а₁₀ = а₁r⁹ = 6(6)^(9/64) * [(6/а₁)^(1/8)]^9
Упрощая, получаем:
а₁₀ = 6(6)^(1/64)
Следовательно, 10-й член геометрической прогрессии равен 6(6)^(1/64)