Ответы
Ответ:
зроби відповідь найкращою
Объяснение:
Розв'язуємо рівняння sin3x = √3:
За формулою для подвійного кута:
sin 3x = 2sin x cos 2x
Підставляємо та спрощуємо:
2sin x cos 2x = √3
sin x (2cos² x - 1) = √3/2
sin x cos² x - 1/2 sin x - √3/4 = 0
Застосовуємо формули зведення тригонометричних рівнянь до квадратного рівняння:
t = cos x, sin x = ±√(1 - cos² x) = ±√(1 - t²)
тоді:
t²(2t² - 1) - 1/2 t - √3/4 = 0
2t⁴ - t² - 1/2 t - √3/4 = 0
2t⁴ - t² - 1/2 t + 3/4 - 3/4 - √3/4 = 0
(2t² - √3/2)² = 7/8
2t² - √3/2 = ±√(7/8)
t = ±√((√3 ± √7)/4)
Таким чином, sin x = ±√(1 - cos² x) = ±√(1 - t²) = ±√(1 - (√((√3 ± √7)/4))²) = ±√(1 - (√3 ± √7)/4).
Отже, розв'язки рівняння: x = arcsin(±√(1 - (√3 ± √7)/4)) + kπ, де k - довільне ціле число.
Перевіримо числовими значеннями: sin3x = sin(arcsin(±√(1 - (√3 ± √7)/4)) + kπ) = ±√3, отже рівняння має два розв'язки.
Обчислимо cos 75∘ − cos 15∘:
Використовуючи формули зведення для косинусів суми і різниці кутів, маємо:
cos 75∘ − cos 15∘ = 2sin 45∘ sin 30∘ = 2(√2/2)(1/2) = √2/2.