Question

Знайдіть зовнішній кут при вершині A трикутника ABC, якщо його вершини мають координати: A(1;3), B(2;4), C(3;3).

Answer 1

Для того, щоб знайти зовнішній кут трикутника, потрібно знайти два внутрішні кути та додати їх до 180 градусів.

Спочатку ми знайдемо координати векторів AB та AC, використовуючи формулу:

AB = (xB - xA, yB - yA) = (2 - 1, 4 - 3) = (1, 1)
AC = (xC - xA, yC - yA) = (3 - 1, 3 - 3) = (2, 0)

Потім знайдемо довжини цих векторів:

|AB| = √(1^2 + 1^2) = √2
|AC| = √(2^2 + 0^2) = 2

За допомогою скалярного добутку можна знайти кут між векторами AB та AC:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| × |AC|)

де AB · AC = (1 × 2) + (1 × 0) = 2

Тоді cos(θ) = 2 / (√2 × 2) = √2 / 2

Таким чином, кут між векторами AB та AC дорівнює 45 градусів.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, тому:

зовнішній кут = 180 градусів - внутрішній кут

Один з внутрішніх кутів можна знайти, використовуючи теорему косинусів:

cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

де a, b та c - довжини сторін трикутника, а α - внутрішній кут, що лежить напроти сторони a.

Використовуючи точки A, B та C, ми можемо знайти довжини сторін трикутника:

a = |BC| = √((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = √(1^2 + (-1)^2) = √2
b = |AC| = 2
c = |AB| = √2

Тоді застосовуючи теорему косинусів, ми знаходимо:

cos(α) = (√2^2 + 2^2 - √2^2) / (2 × √2 × 2) = (6 - 2√2) / 4

Таким чином, внутрішній кут напроти сторони AB дорівнює:

α = arccos((6 - 2√2) / 4) ≈ 29.97 градусів

Отже, другий внутрішній кут трикутника ABC дорівнює:

β = 180 градусів - 45 градусів - 29.97 градусів ≈ 105.03 градусів

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, тому:

зовнішній кут = 180 градусів - 29.97 градусів + 105.03 градусів ≈ 255.06 градусів

Отже, зовнішній кут трикутника ABC при вершині A дорівнює близько 255.06 градусів.