Знайдіть радіуси основ зрізаного конуса, твірна якого дорівнює
10 см, висота - 8 см, а площа бічної поверхні - 100П см
Ответы
Відповідь:
Позначимо радіуси основ зрізаного конуса через r₁ та r₂. З теореми Піфагора для трикутника, утвореного твірною і радіусом зрізаного конуса, маємо:
h² = (r₁ - r₂)² + ℓ²,
де ℓ - довжина відрізка, який сполучає центри основ конуса.
Також маємо формулу для площі бічної поверхні конуса:
S = πℓ(r₁ + r₂),
де S = 100π см².
Враховуючи, що висота конуса h = 8 см, маємо:
r₁ - r₂ = √(h² - ℓ²) = √(8² - ℓ²),
S = πℓ(r₁ + r₂) = πℓ(2r₂ + √(8² - ℓ²)),
100π = πℓ(2r₂ + √(8² - ℓ²)).
Спростивши, отримаємо:
2r₂ + √(8² - ℓ²) = 100,
або
√(8² - ℓ²) = 100 - 2r₂.
Піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрату:
8² - ℓ² = (100 - 2r₂)²,
64 - ℓ² = 10000 - 400r₂ + 4r₂².
Також маємо рівняння для об'єму зрізаного конуса:
V = 1/3πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²) = 1/3π(64 + r₁r₂).
Підставимо r₁ - r₂ = √(8² - ℓ²) у вираз для об'єму та спростимо:
V = 1/3π(64 + r₁r₂) = 1/3π(64 + r₂² + 2r₂√(8² - ℓ²)),
V = 1/3π(64 + r₂² + 2r₂(100 - 2r₂)).
Знайдемо значення r₂, яке задовольняє обидва рівняння. Для цього спочатку розв'яжемо друге рівняння відносно r₂:
4r₂² - 200r₂ + 936 = 0.
Далі застосуємо формулу коренів квадратного рівняння:
r₂ = (200 ± √(200² - 4·4·936)) / (2·4) ≈ 11.15 см
Тепер знайдемо ℓ, використовуючи рівняння r₁ - r₂ = √(8² - ℓ²) та знайдене значення r₂:
r₁ - 11.15 = √(8² - ℓ²),
r₁ = 11.15 + √(8² - ℓ²).
Отже, маємо значення радіусів основ зрізаного конуса:
r₁ ≈ 16.13 см,
r₂ ≈ 11.15 см.
Перевіримо, чи задовольняють отримані значення умовам задачі:
Твірна дорівнює 10 см: 10² = r₁² + r₂² - 2r₁r₂ cos(α), де α - кут між площинами основ конуса. Оскільки α не відомо, перевіримо лише, що 10² = r₁² + r₂², що виконується: 16.13² + 11.15² ≈ 406.99 см² + 124.22 см² ≈ 531.21 см², що дійсно дуже близько до 10² см².
Висота дорівнює 8 см: виходячи з формули для об'єму зрізаного конуса, V = 1/3πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²), і підставляючи відомі значення, отримуємо V ≈ 1628.95 см³, що відповідає висоті 8 см з урахуванням похибки заокруглення.
Отже, отримані значення радіусів основ зрізаного конуса задовольняють умовам задачі.
Покрокове пояснення: